Question

【題目】如圖①，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是矩形，點E，G分別在邊CD，CB上，點F在AC上，AB＝3，BC＝4

（1）求的值；

（2）把矩形CEFG繞點C順時針旋轉到圖②的位置，P為AF，BG的交點，連接CP

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）判斷CP與AF的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）CP⊥AF，理由：見解析.

【解析】

(1)根據矩形的性質得到∠B＝90°，根據勾股定理得到AC＝5，根據相似三角形的性質即可得到結論；

(2)(Ⅰ)連接CF，根據旋轉的性質得到∠BCG＝∠ACF，根據相似三角形的判定和性質定理得到結論；

(Ⅱ)根據相似三角形的性質得到∠BGC＝∠AFC，推出點C，F，G，P四點共圓，根據圓周角定理得到∠CPF＝∠CGF＝90°，于是得到結論．

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵AB＝3，BC＝4，

∴AC＝5，

∴，

∵四邊形CEFG是矩形，

∴∠FGC＝90°，

∴GF∥AB，

∴△CGF∽△CBA，

∴，

∵FG∥AB，

∴；

(2)(Ⅰ)連接CF，

∵把矩形CEFG繞點C順時針旋轉到圖②的位置，

∴∠BCG＝∠ACF，

∵，

∴△BCG∽△ACF，

∴；

(Ⅱ)CP⊥AF，

理由：∵△BCG∽△ACF，

∴∠BGC＝∠AFC，

∴點C，F，G，P四點共圓，

∴∠CPF＝∠CGF＝90°，

∴CP⊥AF．