Question

（2012•德州）如圖，點A，E是半圓周上的三等分點，直徑BC=2，AD⊥BC，垂足為D，連接BE交AD于F，過A作AG∥BE交BC于G．
（1）判斷直線AG與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
（2）求線段AF的長．

Answer 1

分析：（1）求出弧AB=弧AE=弧EC，推出OA⊥BE，根據(jù)AG∥BE，推出OA⊥AG，根據(jù)切線的判定即可得出答案；
（2）求出等邊三角形AOB，求出BD、AD長，求出∠EBC=30°，在△FBD中，通過解直角三角形求出DF即可．

解答：解：（1）直線AG與⊙O的位置關(guān)系是AG與⊙O相切，
理由是：連接OA，

∵點A，E是半圓周上的三等分點，
∴弧AB=弧AE=弧EC，
∴點A是弧BE的中點，
∴OA⊥BE，
又∵AG∥BE，
∴OA⊥AG，
∴AG與⊙O相切． 

（2）∵點A，E是半圓周上的三等分點，
∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°，
又∵OA=OB，
∴△ABO為正三角形，
又∵AD⊥OB，OB=1，
∴BD=OD=

1

2

，AD=

3

2

，
又∵∠EBC=

1

2

∠EOC=30°（圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半），
在Rt△FBD中，F(xiàn)D=BD•tan∠EBC=BD•tan30°=

1

2

×

3

3

=

3

6

，
∴AF=AD-DF=

3

2

-

3

6

=

3

3

．
答：AF的長是

3

3

．

點評：本題考查了解直角三角形，垂徑定理，切線的判定等知識點的應(yīng)用，能運用定理進(jìn)行推理和計算是解此題的關(guān)鍵，注意：垂徑定理和解直角三角形的巧妙運用，題目比較好，難度也適中．