Question

【題目】有下列命題

①一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形．

②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．

③一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形．

④一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形．

（1）上述四個命題中，是真命題的是　 　（填寫序號）；

（2）請選擇一個真命題進行證明．（寫出已知、求證，并完成證明）

已知：　 　．

求證：　 　．

證明：

Answer 1

【答案】（1）①②④（2）在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D；四邊形ABCD是平行四邊形

【解析】

（1）根據平行線的判定定理寫出真命題；

（2）乙②為例，寫出已知、求證．利用四邊形的內角和和已知條件中的對角相等得到鄰角互補，從而判定兩組對邊平行，進而證得結論．

（1）①一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形．故正確；

②兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形．故正確；

③一組對邊相等，一組對角相等的四邊形不一定是平行四邊形．故錯誤；

④一組對邊平行，一條對角線被另一條對角線平分的四邊形是平行四邊形．故正確．

故答案是：①②④；

（2）以②為例：

已知：在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D，

求證：四邊形ABCD是平行四邊形．

證明：∵∠1+∠3＝180°﹣∠A，∠2+∠4＝180°﹣∠C，∠A＝∠C，

∴∠1+∠3＝∠2+∠4．①

∵∠ABC＝∠ADC，

即∠1+∠2＝∠3+∠4，②

由①②相加、相減得：∠1＝∠4，∠2＝∠3．

∴AB∥CD，AD∥BC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）．

故答案是：在四邊形ABCD中，∠A＝∠C，∠B＝∠D；四邊形ABCD是平行四邊形．