Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．有兩個動點E、F分別在線段CD與BC上運動，點E以每秒1cm的速度從點C向點D勻速運動．點F以每秒2cm的速度從點B向點C勻速運動；當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止．設運動的時間為t秒．
（1）求AD的長；
（2）設四邊形BFED的面積為y，求y 關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；
（3）點E、F在運動過程中，如果由點C、E、F構成的三角形與△BDC相似，求線段BF的長．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形BCD中，由CD與BC的長，利用勾股定理求出BD的長，再由AD與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，由cos∠CBD的值求出cos∠ADB的值，利用銳角三角函數定義即可求出AD的長；
（2）由BD與CD的長，求出三角形BCD的面積，如圖2，過點E作EH⊥AB，垂足為H，表示出三角形CEF的面積，由三角形BCD的面積減去三角形CEF的面積，即可列出y關于t的函數關系式，并求出此時t的范圍；
（3）分兩種情況考慮：①如圖3，當∠CEF=∠BDC=90°時，△EFC∽△DBC；②如圖4，當∠CFE=∠CDB=90°時，△EFC∽△BDC，分別由相似得比例，將各自的值代入列出關于t的方程，求出方程的解即可得到t的值．

解答：解：（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，
根據勾股定理得：BD=

BC2-CD2

=8cm，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD=

BD

BC

=

8

10

=

4

5

，
∴AD=BD•cos∠ADB=

32

5

cm；                 
（2）∵BD=8cm，CD=6cm，
∴S_△BCD=

1

2

BD•CD=24（cm²），
如圖2，過點E作EH⊥AB，垂足為H，
在Rt△CEH中，CE=t，sinC=

BD

BC

=

8

10

=

4

5

，
∴EH=CE•sinC=

4

5

t，
∴S_△CEF=

1

2

CF•EH=

1

2

（10-2t）×

4

5

t=-

4

5

t²+4t（cm²），
∴y=S_△BCD-S_△CEF=24-（-

4

5

t²+4t）=

4

5

t²-4t+24（cm²），t的取值范圍是0＜t＜5；

（3）①如圖3，當∠CEF=∠BDC=90°時，△EFC∽△DBC，
∴

CE

CF

=

CD

CB

=

6

10

=

3

5

，即

t

10-2t

=

3

5

，
解得：t=

30

11

，此時BF=2t=

60

11

cm；                               
②如圖4，當∠CFE=∠CDB=90°時，△EFC∽△BDC，
∴

CF

CE

=

CD

CB

=

6

10

=

3

5

，即

10-2t

t

=

3

5

，
解得：t=

50

13

，此時BF=2t=

100

13

cm．

點評：此題屬于相似形綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，勾股定理，銳角三角函數定義，以及三角形的面積求法，利用了分類討論的思想，分類討論時要做到不重不漏，考慮問題要全面．