Question

觀察下面的運算，完成下列各題的解答．
①判斷下列各式是否成立：

2+ 2 3

=2

2 3

（√）

3+ 3 8

=3

3 8

（√）

4+ 4 15

=4

4 15

（√）

5+ 5 24

=5

5 24

（√）
②根據①判斷的結果，你能發現什么規律？請用含有自然數n的式子將你發現的規律表示出來，并注明n的取值范圍．
③請說明你所發現式子的正確性．

Answer 1

分析：（1）計算等式左右兩邊是否相等，然后做出判斷．
（2）由2

2 3

=

2+  2 3

=

2+  2 22-1

，3 

3 8

=

3+  3 8

=

3+  3 32-1

，4 

4 15

=

4+  4 15

=

4+  4 42-1

，故根據上述規律可知n

n n2 -1

= 

n+  n n2 -1

，
（3）把兩式平方，證明左邊和右邊相等．

解答：解：①√；√；√；√

②由2

2 3

=

2+  2 3

=

2+  2 22-1

，3 

3 8

=

3+  3 8

=

3+  3 32-1

，4 

4 15

=

4+  4 15

=

4+  4 42-1

，故根據上述規律可知n

n n2 -1

= 

n+  n n2 -1

（n≥2），

③等式n

n n2 -1

= 

n+  n n2 -1

成立，
理由：n

n n2-1

=

n3 n2-1

=

n3-n+n n2-1

=

n+ n n2-1

，
故結論成立．

點評：本題主要考查二次根式的化簡的知識點，找出等式規律很重要．