Question

11、小明是一位刻苦學習、勤于思考、勇于創新的同學，一天他在解方程x²=-1時，突發奇想：x²=-1在實數范圍內無解，如果存在一個數i，使i²=-1，那么若x²=-1，則x=±i，從而x=±i是方程x²=-1的兩個根．據此可知：①i可以運算，例如：i³=i²•i=-1×i=-i，則i²⁰¹¹=

-i．

，②方程x²-2x+2=0的兩根為

1±i．

（根用i表示）

Answer 1

分析：（1）根據題中規律可知i¹=1，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，可以看出4個一次循環，可以此求解．
（2）把方程x²-2x+2=0變形為（x-1）²=-1，根據題目規律和平方根的定義可求解．

解答：解：（1）i²⁰¹¹=i^502×4+3=-i．
（2）x²-2x+2=0
（x-1）²=-1
x-1=±i
x=1+i或x=1-i．
故答案為：-i；1±i．

點評：本題考查了用配方法解一元二次方程以及找出題目中的規律，從而求得解．