Question

【題目】如圖1，在中，，，厘米，點從點開始沿邊向點以每秒2厘米的速度移動，同時點從點開始沿邊向點以每秒1厘米的速度移動，其中任意一點到達目的地后，兩點同時停止運動．求：

（1）點從點出發，經過幾秒的面積等于1平方厘米？

（2）是否存在以點為圓心、為半徑的圓與直線相切，若存在，求出經過幾秒相切？若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點是內的一個動點，且滿足，求線段的最小值．

Answer 1

【答案】（1）經過1秒的面積等于平方厘米；（2）經過秒相切；（3）線段的最小值

【解析】

（1）首先設經過x秒的面積等于平方厘米，然后利用面積列出方程，求解即可；

（2）首先假設存在以點為圓心、為半徑的圓與直線相切，然后根據相切的性質和勾股定理，列出方程，求解即可；

（3）首先由得出∠AMB=90°，將其轉化為點M在以AC為直徑的圓在△ABC內的弧上，則當B，M，O三點共線時最小，即可得解.

（1）設經過x秒的面積等于平方厘米，則BP=2x，PC=4-x，CQ=x

由題意，得

∴

化簡得：x2-2x+1=0

∴x1=x2=1．

答：經過1秒的面積等于平方厘米；

（2）假設存在以點為圓心、為半徑的圓與直線相切，如圖設其切點為H，

∵AB與圓P相切，

∴PH⊥AB

∵∠ABC=90°-∠BAC=60°

∴∠BPH=30°

∴BH==x，PH=

在Rt△PCQ中，PQ2=PH2=CQ2+PC2

∴

解得：

由于點P的運動時間最大為2秒，故x2舍去

所以經過秒相切；

（3）∵∠MAC=∠MCB

∵∠ACM+∠BCM=∠BCM+∠CAM=90°，

∴∠AMB=90°

∴點M在以AC為直徑的圓在△ABC內的弧上，如圖所示：

∴當B，M，O三點共線時最小

BO=，OM=OA=OB

∴BM=

答：線段的最小值.