Question

（1997•山東）如圖，在△ABC中，∠B=22.5°，邊AB的垂直平分線交BC于D，DF⊥AC于F，并與BC邊上的高AE交于G．求證：EG=EC．

Answer 1

分析：連接AD，求出DE=AE，∠GDE=∠CAE，證△DEG≌△AEC，根據全等三角形的性質推出即可．

解答：證明：
連接AD，
∵邊AB的垂直平分線交BC于D，
∴BD=AD，
∴∠B=∠BAD=22.5°，
∴∠ADE=22.5°+22.5°=45°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=∠AED=90°，
∴∠DAE=45°=∠ADE，
∴DE=AE，
∵DF⊥AC，
∴∠DFC=90°=∠AEC，
∴∠ACE+∠FDC=90°，∠ACD+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠FDC，
在△DEG和△AEC中

∠DEA=∠AEC DE=AE ∠GDE=∠CAE

∴△DEG≌△AEC（ASA），
∴EG=EC．

點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質，等腰三角形的性質和判定，三角形的內角和定理等知識點的綜合運用．