Question

【題目】已知，在平面直角坐標系中，A（m，0）、B（0，n），m、n滿足(m-n)2+|m-|=0．C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且PO＝PD，DE⊥AB于E．

（1）求∠OAB的度數；

（2）設AB＝4，當點P運動時，PE的值是否變化？若變化，說明理由；若不變，請求PE的值；

（3）設AB＝4，若∠OPD＝45°，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】（1）∠OAB＝45°．（2）

【解析】

（1）根據非負數的性質即可求得a，b的值，從而得到△AOB是等腰直角三角形，據此即可求得；

（2）根據等腰三角形的性質以及三角形的外角的性質可以得到∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，則OC=PE，OC的長度根據等腰直角三角形的性質可以求得；

（3）利用等腰三角形的性質，以及外角的性質證得∠POC=∠DPE，即可證得△POC≌△DPE，根據全等三角形的對應邊相等，即可求得OD的長，從而求得D的坐標．

解：（1）根據題意得：

，

解得：m＝n＝，

∴OA＝OB， 又∵∠AOB＝90°

∴△AOB為等腰直角三角形，

∴∠OAB＝45°．

（2）PE的值不變．理由如下：

∵△AOB為等腰直角三角形，且AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°

又∵OC⊥AB于C， ∵PO＝PD ∴∠POD＝∠PDO

當P在BC上時，

∵∠POD＝45°+∠POC，∠PDO＝45°+∠DPE，

∴∠POC＝∠DPE

在△POC和△DPE中，

∴△POC≌△DPE，∴OC＝PE

又 ∴PE＝2；

當P在AC上時，∠POD＝45°﹣∠POC，∠PDO＝45°﹣∠DPE，

則∠POC＝∠DPE．

同理可得PE＝2；

（3）∵OP＝PD，

∴，

則∠PDA＝180°﹣∠PDO＝180°﹣67.5°＝112.5°，

∵∠POD＝∠A+∠APD，

∴∠APD＝67.5°﹣45°＝22.5°，

∴∠BPO＝180°﹣∠OPD﹣∠APD＝112.5°，

∴∠PDA＝∠BPO

則在△POB和△DPA中，

∴△POB≌△DPA（AAS）．

∴PA＝OB＝，

∴DA＝PB＝

∴OD＝OA﹣DA＝

∴