Question

某縣決定鼓勵農民開荒種植牡丹并實行政府補貼，規定每新種植一畝牡丹一次性補貼農戶若干元經調查，種植畝數y（畝）與補貼數額x（元）之間成一次函數關系，且補貼與種植情況如下表：

補貼數額（元） 10 20 ... 種植畝數（畝） 160 240 ... 隨著補貼數額的不斷增大，種植規模也不斷增加，但每畝牡丹的收益z（元）會相應降低，且該縣補貼政策實施前每畝牡丹的收益為3000元，而每補貼10元（補貼數為10元的整數倍），每畝牡丹的收益會相應減少30元。 （1）分別求出政府補貼政策實施后，種植畝數y（畝）、每畝牡丹的收益z（元）與政府補貼數額x（元）之間的函數關系式； （2）要使全縣新種植的牡丹總收益W（元）最大，又要從政府的角度出發，政府應將每畝補貼數額x定為多少元？并求出總收益W的最大值和此時種植畝數；（總收益=每畝收益×畝數） （3）在（2）問中取得最大總收益的情況下，需占用其中不超過50畝的新種牡丹園，利用其樹間空地種植新品種“黑桃皇后”已知引進該新品種平均每畝的費用為530元，此外還要購置其它設備，這項費用（元）等于種植面積（畝）的平方的25倍這樣混種了“黑桃皇后”的這部分土地比原來種植單一品種牡丹時每畝的平均收益增加了2000元，這部分混種土地在扣除所有費用后總收益為85000元，求混種牡丹的土地有多少畝？

Answer 1

解：（1）y=kx+b過（10，160）（20，240） ∴，解得， ∴y=8x+80 ； （2）W=y·z=（8x+80）（-3x+3000）， =24x2+23760x+240000， =-24（x2-990x+4952-4952）+240000， =-24（x-495）2+6120600， ∵x為10的整數倍， ∴當x=490或x=500時，W最大=6120000， ∵從政府角度出發， ∴當x=490時，W最大=6120000， 此時種植y=8×490+80=4000畝； （3）此時平均每畝收益（元）， 設混種牡丹的土地m畝，則（1530+2000）·m-530m-25m2=85000， m2-120m+3400=0， 解得：m=60±10， ∴m1=60+10>50， m2=60-10， ∴混種牡丹的土地有（60-10）畝。