Question

【題目】如圖,AB是半圓圓O的直徑,C是弧AB的中點(diǎn),M是弦AC的中點(diǎn),CH⊥BM,垂足為H.求證

（1）∠AHO=90°

（2）求證：CH=AHOH.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）連接OC、BC，可得∠BOC＝∠BHC＝90°，可得點(diǎn)O、B、C、H四點(diǎn)共圓，繼而根據(jù)圓周角定理得出∠OHB＝∠OCB＝45°，然后證明△AMH∽△BMA，根據(jù)相似得出角相等，進(jìn)而證得∠AHO＝90°；

（2）由（1）可知∠AHM＝∠BHO，∠MAH＝∠MBA，易證△AMH∽△BOH，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)證得結(jié)果．

解：(1)連接OC、BC，

∵C是弧AB的中點(diǎn)，M是弦AC的中點(diǎn)，

∴∠BOC＝∠BHC＝90°，

則點(diǎn)O、B、C、H四點(diǎn)共圓，

∴∠OHB＝∠OCB＝45°，

∵∠BCM＝90°，CH⊥BM，M為AC的中點(diǎn)，

∴AM2＝CM2＝MHMB，

即，

∴△AMH∽△BMA，

則∠MAH＝∠MBA，∠AHM＝∠BAM＝45°，

∴∠AHO＝180°-∠AHM-∠OHB=90°，

（2）由（1）可知∠AHM＝∠BHO，∠MAH＝∠MBA

∴△AMH∽△BOH，

∴，

則AHOH＝MHBH，

∵CH2＝MHBH，

∴CH2＝AHOH．