Question

【題目】如圖（1），中，、分別是、邊上的高，、分別是線段、的中點．

（1）求證：；

（2）聯結、，猜想與之間的關系，并寫出推理過程；

（3）若將銳角變為鈍角，如圖（2），上述（1）（2）中的結論是否都成立？若結論成立，直接回答，不需證明；若結論不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2），證明詳見解析；（3）結論（1）成立；結論（2）不成立，理由詳見解析.

【解析】

（1）連接DM、ME，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DM=BC，ME=BC，從而得到DM=ME，再根據等腰三角形三線合一的性質證明；

（2）根據三角形的內角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據等腰三角形兩底角相等表示出∠BMD+∠CME，然后根據平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解；

（3）根據三角形的內角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°-∠A，再根據等腰三角形兩底角相等和三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和表示出∠BME+∠CME，然后根據平角等于180°表示出∠DME，整理即可得解．

（1）如圖，連接、，

∵、分別是、邊上的高，是的中點，

∴，，

∴，

又為中點，

∴；

（2）在中，，

∵，

∴

，

∴；

（3）結論（1）成立；結論（2）不成立，理由如下：

在中，，

∵，

∴，

∴．