Question

如圖，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中點(diǎn)，P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB長(zhǎng)為2

3

，則PM+PB的最小值是

3

．

Answer 1

分析：先連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形且∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形，由于菱形的對(duì)角線互相垂直平分，所以點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，AD=BD，連接MD，由等邊三角形的性質(zhì)可知DM⊥AB，再根據(jù)勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)．

解答：解：先連接BD，交AC于點(diǎn)P′，連接DM，BE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC⊥BD，BE=DE，
∵∠BAD=60°，
∴△ABD是等邊三角形，點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)，則BP′=DP′，
∴當(dāng)P于P′重合時(shí)PM+PB的值最小，最小值為MD，
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)，△ABD是等邊三角形，
∴DM⊥AB，
∵AD=2

3

，AM=

3

，
∴DM=

AD2-AM2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3．
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短線路問題及菱形的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得出點(diǎn)D是點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)是解答此題的關(guān)鍵．