Question

【題目】已知拋物線y=a（x﹣1）2過點（3，1），D為拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點B、C均在拋物線上，其中點B（0，），且∠BDC=90°，求點C的坐標；

（3）如圖，直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點．

①求證：∠PDQ=90°；

②求△PDQ面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣1）2；（2）點C的坐標為（17，64）．（3）①證明見解析；②16.

【解析】（1）將點（3，1）代入解析式求得a的值即可；

（2）設點C的坐標為（x0，y0），其中y0=（x0﹣1）2，作CF⊥x軸，證△BDO∽△DCF得=，即==據此求得x0的值即可得；

（3）①設點P的坐標為（x1，y1），點Q為（x2，y2），聯立直線和拋物線解析式，化為關于x的方程可得，據此知（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，由PM=y1=（x1﹣1）2、QN=y2=（x2﹣1）2、DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1知PMQN=DMDN=16，即=，從而得△PMD∽△DNQ，據此進一步求解可得；

②過點D作x軸的垂線交直線PQ于點G，則DG=4，根據S△PDQ=DGMN列出關于k的等式求解可得．

（1）將點（3，1）代入解析式，得：4a=1，

解得：a=，

所以拋物線解析式為y=（x﹣1）2；

（2）由（1）知點D坐標為（1，0），

設點C的坐標為（x0，y0），（x0＞1、y0＞0），

則y0=（x0﹣1）2，

如圖1，過點C作CF⊥x軸，

∴∠BOD=∠DFC=90°、∠DCF+∠CDF=90°，

∵∠BDC=90°，

∴∠BDO+∠CDF=90°，

∴∠BDO=∠DCF，

∴△BDO∽△DCF，

∴=，

∴==，

解得：x0=17，此時y0=64，

∴點C的坐標為（17，64）．

（3）①證明：設點P的坐標為（x1，y1），點Q為（x2，y2），（其中x1＜1＜x2，y1＞0，y2＞0），

由，得：x2﹣（4k+2）x+4k﹣15=0，

∴，

∴（x1﹣1）（x2﹣1）=﹣16，

如圖2，分別過點P、Q作x軸的垂線，垂足分別為M、N，

則PM=y1=（x1﹣1）2，QN=y2=（x2﹣1）2，

DM=|x1﹣1|=1﹣x1、DN=|x2﹣1|=x2﹣1，

∴PMQN=DMDN=16，

∴=，

又∠PMD=∠DNQ=90°，

∴△PMD∽△DNQ，

∴∠MPD=∠NDQ，

而∠MPD+∠MDP=90°，

∴∠MDP+∠NDQ=90°，即∠PDQ=90°；

②過點D作x軸的垂線交直線PQ于點G，則點G的坐標為（1，4），

所以DG=4，

∴S△PDQ=DGMN=×4×|x1﹣x2|=2=8，

∴當k=0時，S△PDQ取得最小值16．