Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，現將一塊邊長足夠大的直角三角板的直角頂點置于AB的中點O，兩直角邊分別經過點B、C，然后將三角板繞點O按順時針方向旋轉一個角度α（0°＜α＜90°），旋轉后，直角三角板的直角邊分別與AC、BC相交于點K、H，四邊形CHOK是旋轉過程中三角板與△ABC的重疊部分（如圖所示）．那么，在上述旋轉過程中：
（1）線段BH與CK具有怎樣的數量關系？四邊形CHOK的面積是否發生變化？證明你發現的結論；
（2）連接HK，設BH=x．
①當△CHK的面積為時，求出x的值．
②試問△OHK的面積是否存在最小值，若存在，求出此時x的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）在旋轉過程中，BH=CK，四邊形CHOK的面積始終保持不變，其值為△ABC面積的一半．
理由如下：
連接OC
∵△ABC為等腰直角三角形，O為斜邊AB的中點，CO⊥AB
∴∠OCK=∠B=45°，CO=OB，又∵∠COK與∠BOH均為旋轉角，
∴∠COK=∠BOH=α
∴△COK≌△BOH
∴BH=CK，S_{四邊形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=S_△ABC=4．

（2）①由（1）知CK=BH=x，
∵BC=4，
∴CH=4-x，根據題意，得CH•CK=，即（4-x）x=3，
解這個方程得x₁=1，x₂=3，
此兩根滿足條件：0＜x＜4
所以當△CKH的面積為時，x的取值是1或3；
②設△OKH的面積為S，由（1）知四邊形CHOK的面積為4，于是得關系式：
S=4-S_△CKH=4-x（4-x）=（x²-4x）+4
=（x-2）²+2
當x=2時，函數S有最小值2，
∵x=2時，滿足條件0＜x＜4，
∴△OKH的面積存在最小值，此時x的值是2．
分析：（1）連接OC，可以證得：△COK≌△BOH，根據S_{四邊形CHOK}=S_△COK+S_△COH=S_△BOH+S_△COH=S_△COB=S_△ABC即可證得：四邊形CHOK的面積始終保持不變；
（2）①BC=4，CH=4-x，三角形的面積公式可以得到：CH•CK=，即（4-x）x=3，從而求得x的值；
②設△OKH的面積為S，根據三角形的面積公式，即可得到關于x的函數關系式，然后根據函數的性質即可求解．
點評：本題考查了三角形全等的判定與性質，以及二次函數的性質，正確列出函數解析式是解題的關鍵．