Question

如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點E、F、G分別從A、B、C三點同時出發，沿矩形的邊按逆時針方向勻速運動，點E的運動速度為1cm/s，點F的運動速度為3cm/s，點G的運動速度為1.5cm/s，當點F到達點C（即點F與點C重合）時，三個點隨之停止運動．在運動過程中，△EBF關于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設點E、F、G運動的時間為t（單位：s）．

（1）當t=           s時，四邊形EBFB′為正方形；
（2）若以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實數t，使得點B′與點O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）2.5  （2）t=2.8s或t=（-14+2）s  （3）不存在，理由見解析

解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，
即：10-t=3t，
解得t=2.5；
（2）分兩種情況，討論如下：
①若△EBF∽△FCG，
則有，即，
解得：t=2.8；
②若△EBF∽△GCF，
則有，即，
解得：t=-14-2（不合題意，舍去）或t=-14+2．
∴當t=2.8s或t=（-14+2）s時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F，C，G為頂點的三角形相似．
（3）假設存在實數t，使得點B′與點O重合．
如圖，過點O作OM⊥BC于點M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC-BF=6-3t，OM=5，
由勾股定理得：OM²+FM²=OF²，
即：5²+（6-3t）²=（3t）²
解得：t=；

過點O作ON⊥AB于點N，則在Rt△OEN中，OE=BE=10-t，EN=BE-BN=10-t-5=5-t，ON=6，
由勾股定理得：ON²+EN²=OE²，
即：6²+（5-t）²=（10-t）²
解得：t=3.9．
∵≠3.9，
∴不存在實數t，使得點B′與點O重合．