Question

已知二次函數y=-

1

4

x2+

3

2

x的圖象如圖所示．

（1）求它的對稱軸與x軸交點D的坐標；
（2）將該拋物線沿它的對稱軸向上平移k個單位，設平移后的拋物線與x軸，y軸的交點分別為A、B、C三點，若∠ACB=90°，求此時拋物線的解析式；
（3）設（2）中平移后的拋物線的頂點為M，以AB為直徑，D為圓心作⊙D，試判斷直線CM與⊙D的位置關系，并說明理由．
（4）在（2）的條件下，平行于x軸的直線x=t（0＜t＜k）分別交AC、BC于E、F兩點，試問在x軸上是否存在點P，使得△PEF是等腰直角三角形？若存在，請直接寫P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）y=-

1

4

x²+

3

2

x=-

1

4

（x-3）²+

9

4

，
頂點坐標為（3，

9

4

），
所以點D坐標為（3，0）；

（2）拋物線沿它的對稱軸向上平移k個單位得到的函數解析式為
y=-

1

4

x²+

3

2

x+k
令y=0，即-

1

4

x²+

3

2

x+k=0，
解得x₁=3-

9+4k

，x₂=3+

9+4k

，
即A（3-

9+4k

，0）、B（3+

9+4k

，0），C（0，k）；
在Rt△AOC中
AC²=OA²+OC²=（

9+4k

-3）²+k²；
BC²=OB²+OC²=（

9+4k

+3）²+k²；
AB²=（2

9+4k

）²=AC²+BC²=（

9+4k

-3）²+k²+（

9+4k

+3）²+k²；
整理得k（k-4）=0
k=0（不合題意），k=4；
∴拋物線的解析式y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；

（3）由拋物線的解析式y=-

1

4

x²+

3

2

x+4；
得出M（3，

25

4

），A（-2，0），B（8，0），C（0，4）
如圖，

連接MC、CD，根據勾股定理
求得MC=

15

4

，DC=5，MD=

25

4

，
∵MC2+CD2=MD2
由勾股定理逆定理△CMD為直角三角形，且DC⊥CM，
又∵DC=DA=DB，
∴直線CM與⊙D相切；

（4）存在.P1(-

4

7

，0)，P2(

4

3

，0)，P3(

16

7

，0)．