Question

【題目】如圖，二次函數y=﹣mx2+4m的頂點坐標為（0，2），矩形ABCD的頂點B．C在x軸上，A、D在拋物線上，矩形ABCD在拋物線與x軸所圍成的圖形內點A在點D的左側．

（1）求二次函數的解析式；

（2）設點A的坐標為（x，y），試求矩形ABCD的周長P關于自變量x的函數解析式，并求出自變量x的取值范圍；

（3）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長為9？試證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2；（2）p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2；（3）不存在，證明見解析

【解析】試題分析： （1）由頂點坐標（0，2）可直接代入y=﹣mx2+4m，求得m=，即可求得拋物線的解析式；（2）由圖及四邊形ABCD為矩形可知AD∥x軸，長為2x的據對值，AB的長為A點的總坐標，由x與y的關系，可求得p關于自變量x的解析式，因為矩形ABCD在拋物線里面，所以x小于0，大于拋物線與x負半軸的交點；（3）由（2）得到的p關于x的解析式，可令p=9，求x的方程，看x是否有解，有解則存在，無解則不存在，顯然不存在這樣的p．

試題解析：

（1）∵二次函數y=﹣mx2+4m的頂點坐標為（0，2），

∴4m=2，

即m=，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2；

（2）∵A點在x軸的負方向上坐標為（x，y），四邊形ABCD為矩形，BC在x軸上，

∴AD∥x軸，

又∵拋物線關于y軸對稱，

∴D、C點關于y軸分別與A、B對稱．

∴AD的長為2x，AB長為y，

∴周長p=2y+4x=2（﹣x2+2）﹣4x=﹣（x+2）2+8．

∵A在拋物線上，且ABCD組成矩形，

∴x＜2，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴y＞0，

即x＞﹣2．

∴p=﹣（x+2）2+8，其中﹣2＜x＜2．

（3）不存在，

證明：假設存在這樣的p，即：

9=﹣（x+2）2+8，

解此方程得：x無解，所以不存在這樣的p．