Question

如圖，?ABCD中，AB=2，以點A為圓心，AB為半徑的圓交邊BC于點E，連接DE、AC、AE．
（1）求證：△AED≌△DCA；
（2）若DE平分∠ADC且與⊙A相切于點E，求圖中陰影部分（扇形）的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AE，易證得四邊形AECD是等腰梯形，即可得AC=DE，然后由SSS，即可證得：△AED≌△DCA；
（2）由DE平分∠ADC且與⊙A相切于點E，可求得∠EAD的度數，繼而求得∠BAE的度數，然后由扇形的面積公式求得陰影部分（扇形）的面積．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴四邊形AECD是梯形，
∵AB=AE，
∴AE=CD，
∴四邊形AECD是等腰梯形，
∴AC=DE，
在△AED和△DCA中，
，
∴△AED≌△DCA（SSS）；

（2）解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠ADE，
∵四邊形AECD是等腰梯形，
∴∠DAE=∠ADC=2∠ADE，
∵DE與⊙A相切于點E，
∴AE⊥DE，
即∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，
∴∠DAE=60°，
∴∠DCE=∠AEC=180°-∠DAE=120°，
∵四邊形ACD是平行四邊形，
∴∠BAD=∠DCE=120°，
∴∠BAE=∠BAD-∠EAD=60°，
∴S_陰影=×π×2²=π．
點評：此題考查了切線的性質、全等三角形的判定與性質、等腰梯形的判定與性質以及平行四邊形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．