Question

已知：如圖，DABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CBA的平分線交AC于點F，交⊙O于點D，DE⊥AB于點E，且交AC于點P，連結AD．

小題1:求證：∠DAC ＝∠DBA；
小題2:求證：是線段AF的中點
小題3:若⊙O 的半徑為5，AF ＝ ，求tan∠ABF的值．

Answer 1

小題1:∵BD平分∠CBA，∴∠CBD＝∠DBA  
∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD 
∴∠DAC ＝∠DBA         (2分)
小題2:∵AB為直徑，∴∠ADB＝90° 
又∵DE⊥AB于點E，∴∠DEB＝90° ∴∠ADE +∠EDB＝∠ABD +∠EDB＝90°
∴∠ADE＝∠ABD＝∠DAP 
∴PD＝PA    
又∵∠DFA +∠DAC＝∠ADE +∠PD F＝90°且∠ADE＝∠DAC
∴∠PDF＝∠PFD                    
∴PD＝PF  ∴PA＝ PF 即P是線段AF的中點  （3分）
小題3:∵∠DAF ＝∠DBA，∠ADB＝∠FDA＝90°∴△FDA ∽△ADB
∴    
∴在Rt△ABD 中，tan∠ABD＝，即tan∠ABF＝ （3分）

（1）根據圓周角定理得出∠DAC=∠CBD，以及∠CBD=∠DBA得出答案即可；
（2）首先得出∠ADB=90，再根據∠DFA+∠DAC=∠ADE+∠PDF=90°，且∠ADB=90°得出∠PDF=∠PFD，從而得出PA=PF；
（3）利用相似三角形的判定得出△FDA∽△ADB即可得出答案．