Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，A、B兩點的坐標分別為（20，0）和（0，15），動點P從點A出發在線段AO上以每秒2cm的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒lcm的速度向上平行移動（即EF∥x軸），分別與y軸、線段AB交于點E、F，連接EP、FP，設動點P與動直線EF同時出發，運動時間為t秒．

（1）求t=9時，△PEF的面積；

（2）直線EF、點P在運動過程中，是否存在這樣的t使得△PEF的面積等于40cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；

（3）當t為何值時，△EOP與△BOA相似．

Answer 1

【答案】（1）36cm2；（2）不存在；（3）t=6或t=.

【解析】

（1）由于EF∥x軸，則S△PEF=EFOE．t=9時，OE=9，關鍵是求EF．易證△BEF∽△BOA，則=，從而求出EF的長度，得出△PEF的面積；

（2）假設存在這樣的t，使得△PEF的面積等于40cm2，則根據面積公式列出方程，由根的判別式進行判斷，得出結論；

（3）如果△EOP與△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，則只能點O與點O對應，然后分兩種情況分別討論：①點P與點A對應；②點P與點B對應．

解：（1）∵EF∥OA，

∴∠BEF=∠BOA

又∵∠B=∠B，

∴△BEF∽△BOA，

∴=，

當t=9時，OE=9，OA=20，OB=15，

∴EF==8，

∴S△PEF=EFOE=×8×9=36（cm2）；

（2）∵△BEF∽△BOA，

∴EF===（15-t），

∴×（15-t）×t=40，

整理，得t2-15t+60=0，

∵△=152-4×1×60＜0，

∴方程沒有實數根．

∴不存在使得△PEF的面積等于40cm2的t值；

（3）當∠EPO=∠BAO時，△EOP∽△BOA，

∴=，即=，

解得t=6；

當∠EPO=∠ABO時，△EOP∽△AOB，

∴=，即=，

解得t=．

∴當t=6或t=時，△EOP與△BOA相似．