Question

【題目】某公司生產的某種時令商品每件成本為20元，經過市場調研發現，這種商品在未來40天內的日銷售量m（件）與時間t（天）的關系滿足：m=﹣2t+96．且未來40天內，前20天每天的價格y1（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y1=t+25（1≤t≤20且t為整數），后20天每天的價格y2（元/件）與時間t（天）的函數關系式為y2=﹣t+40（21≤t＜40且t為整數）．下面我們就來研究銷售這種商品的有關問題

（1）請分別寫出未來40天內，前20天和后20天的日銷售利潤w（元）與時間t的函數關系式；

（2）請預測未來40天中哪一天的日銷售利潤最大，最大日銷售利潤是多少？

（3）在實際銷售的前20天中，該公司決定每銷售一件商品就捐贈a元利潤（a＜4）給希望工程．公司通過銷售記錄發現，前20天中，每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t（天）的增大而增大，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）w=；（2）第19天日銷售利潤最大，最大利潤為841元；（3）0.5≤a＜4．

【解析】

（1）根據利潤（w）=日銷售量（m） 價格差（-20）分別計算即可得出前20天和后20天的日銷售利潤w（元）與時間t的函數關系式；（2）根據二次函數的性質，求出（1）中的兩個二次函數的最大值進行比較即可；（3）根據題意得出扣除捐贈后的利（w）與時間（t）的解析式，找出對稱軸進行分析即可，

（1）當1≤t≤20且t為整數時，

w=（t+25﹣20）（﹣2t+96）

=﹣t2+38t+480；

當21≤t＜40且t為整數時，

w=（﹣t+40﹣20）（﹣2t+96）

=t2﹣88t+1920，

綜上w=．

（2）當1≤t≤20且t為整數時，w=﹣t2+38t+480=﹣（t﹣19）2+841，

此時當t=19時，w取得最大值841；

當21≤t＜40且t為整數時，w=t2﹣88t+1920=（t﹣44）2﹣16，

∵t＜44時，w隨t的增大而減小，

∴當t=21時，w取得最大值，最大值為513；

綜上，第19天日銷售利潤最大，最大利潤為841元．

（3）根據題意知，扣除捐款后的利潤w=﹣t2+38t+480﹣（﹣2t+96）a

=﹣t2+（38+2a）t+480﹣96a

∴﹣1＜0，且對稱軸t=19+a，

因為t為整數，所以函數圖象是為20個分布在拋物線上的散點，要使日銷售利潤隨時間t增大而增大，

則要求對稱軸19+a≥19.5，

解得a≥0.5，

又a＜4，

則0.5≤a＜4．