Question

（本小題滿分9分）

在中，，點在所在的直線上運動，作（按逆時針方向）．

（1）如圖1，若點在線段上運動，交于．

①問△ABD與△DCE相似嗎?為什么?

②當是等腰三角形時，求的長．

（2）①如圖2，若點在的延長線上運動，的反向延長線與的延長線相交于點，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由；

②如圖3，若點在的反向延長線上運動，是否存在點，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點的位置；若不存在，請簡要說明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

①證明：……………………………………………………1分

理由是:在中，∵

∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45°

………………2分

∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135°

………………3分

∴∠ADB=∠DEC    

∴          

② 當是等腰三角形時,分以下三種情況討論

第一種情況：DE=AE

∵DE=AE

∴∠ADE=∠DAE=45°

………………4分

∴ ∠AED=90°, 此時，E為AC的中點，

∴AE=AC=1.

 

第二種情況：AD=AE（D與B重合）

AE=2………………………………………………………………………………5分

第三種情況 ：AD=AE

如果AD=DE，由于，

∴ △ABD≌△DCE,

∴BD=CE,AB=DC,設BD=CE= 

在中，∵，

∴ BC=, DC=－

∴－=2 ,解得，=－2 ，

∴ AE= 4 －2……………………………………………………………6分

綜上所述：AE的值是1，2，4 －2

(2)①存在。

………………7分

當D在BC的延長線上，且CD=CA時，是等腰三角形.

證明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,

∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°,

∴ ∠ADC=∠DEC,又CD=CA ，

∴ ∠CAD=∠CDA ,

∴ ∠CAD=∠CED ,

∴DA=DE′,

………………8分

∴ 是等腰三角形.

②不存在.

因為 ∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45°

………………9分

∴∠ADE≠∠E

∴不可能是等腰三角形。

 

【解析】略