Question

如圖，△ABC的高BD、CE相交于O．
（1）寫出圖中的兩對相似三角形，并寫出相應的對應邊的比；
（2）連接ED，△ADE與△ABC相似嗎？若相似，給出證明．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的高BD、CE相交于O，易得∠AEC=ADB=90°，∠BEO=∠CDO=90°，又由∠A是公共角，∠EOB=∠DOC，根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似，即可判定：△ABD∽△ACE，△EOB∽△DOC，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得相應的對應邊的比；
（2）由△ABD∽△ACE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可得

AD

AE

=

AB

AC

，又由∠A是公共角，根據兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似，即可判定△ADE與△ABC相似．

解答：解：（1）圖中的兩對相似三角形為：△ABD∽△ACE，△EOB∽△DOC；相應的對應邊的比分別為：

AD

AE

=

AC

AB

=

BD

CE

，

OE

OD

=

OB

OC

=

BE

CD

．
理由：∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠AEC=ADB=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACE，
∴

AD

AE

=

AC

AB

=

BD

CE

；
∵BD、CE是△ABC的高，
∴∠BEO=∠CDO=90°，
∵∠EOB=∠DOC，
∴△EOB∽△DOC，
∴

OE

OD

=

OB

OC

=

BE

CD

；

（2）相似．
證明：∵△ABD∽△ACE，
∴

AD

AE

=

AB

AC

，
即

AD

AB

=

AE

AC

，
∵∠A是公共角，
∴△ADE∽△ABC．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質．此題難度適中，解題的關鍵是掌握有兩組角對應相等的兩個三角形相似與兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似定理的應用，注意數形結合思想的應用．