Question

（1）如圖，已知：AB∥CD，直線EF分別交AB和CD于點P、Q，QS平分∠DQF，∠BPF=70°．求∠DQS的度數．
（2）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是中線，E是AD上一點，過點C作CG∥AB，延長BE交AC于點F，交C G于點G．
①圖中找出一條與線段BE相等的線段；
②求證：BE²=EF•EG．

Answer 1

分析：（1）利用平行線的性質求∠DQF，利用角平分線性質求∠DQS；
（2）①根據已知證明AD垂直平分BC，得出BE=DE；
②由①根據“SSS”證明△ABE≌△ACE，得∠ABE=∠ACE，又CG∥AB，得∠ABE=∠CGE，可知∠CGE=∠ACE，證明△ECF∽△EGC，得出相似比變形即可．

解答：解：（1）∵AB∥CD，∴∠DQF=∠BPF=70°，又∵QS平分∠DQF，∴∠DQS=

1

2

∠DQF=35°；

（2）①BE=EC；
②證明：∵AB=AC，BE=EC，AE=AE，
∴△ABE≌△ACE，
∴∠ABE=∠ACE，
又∵CG∥AB，
∴∠ABE=∠CGE，
∴∠CGE=∠ACE，而∠CEF=∠GEC，
∴△ECF∽△EGC，
∴

EF

CE

=

CE

EG

，即CE²=EF•EG，
BE²=EF•EG．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，平行線的性質，等腰三角形的性質．關鍵是由相似三角形的判定與性質推出角相等，得到線段相等．