Question

一個長方體的長是3cm，寬也是3cm，高是6cm，如果把長方體的長增加xcm，且0＜x＜3，寬減少xcm，高不變．問：
（1）求原來長方體的體積．
（2）用含x的代數式表示變化后的長方體體積，且化簡．  
（3）變化后的體積是變大還是變小了，為什么？

Answer 1

分析：（1）利用長方體的體積=長×寬×高，將原來長方體的長，寬及高代入，即可求出原長方體的體積V；
（2）根據長方體的長增加xcm，寬減少xcm，高不變，由原長方體的長，寬及高表示出變化后長方體的長，寬及高，代入體積公式，即可表示出變化后長方體的體積V′，提取-1后，利用平方差公式化簡，去括號后即可得到結果；
（3）變化后的體積變小了，理由為：利用作差法，V-V′，將第一、二問得到的結果代入，去括號合并后得到其差為6x²，根據x的范圍，得到其差大于0，可得出V＞V′，即變化后體積變小．

解答：解：（1）∵原長方體的長是3cm，寬也是3cm，高是6cm，
∴原長方體的體積V=3×3×6=54（cm³）；
（2）根據題意得：變化后長方體的長為（x+3）cm，寬為（3-x）cm，高為6cm，
∴變化后長方體的體積V′=6（x+3）（3-x）=-6（x+3）（x-3）=-6（x²-9）=-6x²+54（cm³）；
（3）變化后的體積變小了，理由為：
∵0＜x＜3，
∴V-V′=54-（-6x²+54）=54+6x²-54=6x²＞0，即V＞V′，
∴變化后的體積變小了．

點評：此題考查了整式的混合運算，涉及的知識有：多項式與多項式的乘法運算，平方差公式，去括號法則，以及合并同類項法則，本題第三問比較大小的方法為作差法，學生做題時注意此方法的運用．