Question

【題目】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得△AFB，連接EF，下列結論：①△AED≌△AEF；②△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2；⑤∠ADC=22.5°，其中正確的是（　　）

A. ①③④ B. ③④⑤ C. ①②④ D. ①②⑤

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF，因為∠BAC=90°，∠DAE=45°，所以∠CAD+∠BAE=45°，可得∠EAF=45°=∠DAE，由此即可證明△AEF≌△AED；

②根據旋轉的性質，△ADC≌△ABF，進而得出△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；

③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF；由此即可確定說法是否正確；

④據①BF=CD，EF=DE，∠FBE=90°，根據勾股定理判斷．

⑤可以利用①②④正確，利用答案中沒有更多正確答案，得出⑤錯誤．

詳解：①根據旋轉的性質知∠CAD=∠BAF，AD=AF．

∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAD+∠BAE=45°，∴∠EAF=45°，∴△AEF≌△AED；

故①正確；

②∵根據旋轉的性質，∴△ADC≌△ABF，∴△ABC的面積等于四邊形AFBD的面積；

故此選項正確；

③根據①知道△ADE≌△AFE，得CD=BF，DE=EF，∴BE+DC=BE+BF＞DE=EF，故③錯誤；

④∵AB=AC，△ADC旋轉90°至△AFB，∴∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，根據旋轉的性質可得△ADC≌△ABF，∠ABF=∠ACD=45°，∴∠FBE=45°+45°=90°，∴BE2+BF2=EF2．

∵△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，∴△AFB≌△ADC，∴BF=CD．

又∵EF=DE，∴BE2+CD2=DE2，故④正確．

⑤∵可以利用①②④正確，利用答案中沒有更多正確答案，得出⑤錯誤．

故正確的有：①②④．

故選C．