Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D為AB邊的中點，點P為BC邊上一點，把△PBD沿PD翻拆，點B落在點E處，設PE交AC于F，連接CD

(1)求證：△PCF的周長=CD；
(2)設DE交AC于G，若，CD=6，求FG的長

Answer 1

（1）證明見解析；（2）FG的長為．

試題分析：.(1)連接CE，根據三角形的角邊關系可以得到∠FCE=∠FEC，從而FC=FE，△PCF的周長＝CD；
(2) 由.(1)結論CP+PF+CF=CD，和，CD=6，求出CF=EF=，作GK⊥EF于點K，易得FG的長為．
試題解析：.(1)連接CE，

∵CA=CB,D為AB中點，
∴∠BCD=∠ACD=45°，
由翻折可知∠B=∠DEP=45°，
∴∠DCF=∠DEF=45°，
CD=BD=DE，
∴∠DCE=∠DEC，
∴∠DCE-∠DCA=∠DEC-∠DEF，
即∠FCE=∠FEC，
∴FC=FE，
∴CF+PF=PE=BP，
∴CP+PF+CF=BC=CD，
∴△PCF的周長＝CD；
(2)∵，
∴設PF=5x,EF=CF=3x，
在Rt△FCP中,PF²=CP²+CF²，
∴CP=4x，
∵CP+PF+CF=CD，
∴4x+5x+3x=6，
x=，
CF=EF=3x=，
作GK⊥EF于點K，

∵tan∠GFE=tan∠PFC==，
設GK=4a,FK=3a,EK=4a，
∴EF=7a=，
a=，
FG=5a=，
∴FG的長為．