Question

已知：如圖所示，關于的拋物線與軸交于點、點，與軸交于點．

（1）求出此拋物線的解析式，并寫出頂點坐標；
（2）在拋物線上有一點，使四邊形為等腰梯形，寫出點的坐標，并求出直線的解析式；
（3）在（2）中的直線交拋物線的對稱軸于點，拋物線上有一動點，軸上有一動點．是否存在以為頂點的平行四邊形？如果存在，請直接寫出點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解析試題考查知識點:拋物線的性質及求解析式，直線求解析式，動點問題
思路分析:
具體解答過程:
（1）∵關于的拋物線y=ax²+x+c與軸交于點A（-2,0）、B（6,0）點
∴把x=-2、y=0和x=6、y=0分別代入到y=ax²+x+c可得方程組
解之得：a=-,c=3
∴此拋物線的解析式為：y=-x²+x+3
根據拋物線頂點坐標的計算方法，可知：
橫坐標：-=2；縱坐標：=4
∴拋物線的頂點坐標為（2,4）
（2）、如圖所示。

過C點做直線CD∥x軸，交拋物線于D，連接AC、BD，則CD兩點的縱坐標應該是一樣的；根據拋物線的對稱性，四邊形ABCD必為等腰梯形。
對于y=-x²+x+3，令x=0，則y=3，故知點C的坐標為（0，3）；再令y=3，可得-x²+x+3=3，解之得：x=0或4
∴D點坐標為D（4,3）
設過A（-2,0），D（4,3）兩點的直線解析式為y=kx+b。把x=-2,y=0和x=4,y=3分別代入到y=kx+b中解方程組：
解之得：k=,b=1
∴直線AD的解析式為y=x+1
（3）、存在。如下面（A）～（D）圖所示，大致有四種情況。


經計算，在圖（A）中，Q點的坐標為：（2-2，0）；在圖（B）中，Q點的坐標為：（6-2，0）；在圖（C）中，Q點的坐標為：（-2-2，0）；在圖（D）中，Q點的坐標為：（6+2，0）
試題點評： 這是一道以拋物線為主導的綜合題目。