Question

【題目】某廠按用戶的月需求量x（件）完成一種產品的生產，其中x＞0，每件的售價為18萬元，每件的成本y（萬元）是基礎價與浮動價的和，其中基礎價保持不變，浮動價與月需求量x（件）成反比，經市場調研發現，月需求量x與月份n（n為整數，1≤n≤12），符合關系式x=2n2﹣2kn+9（k+3）（k為常數），且得到了表中的數據．

月份n（月）	1	2
成本y（萬元/件）	11	12
需求量x（件/月）	120	100

（1）求y與x滿足的關系式，請說明一件產品的利潤能否是12萬元；
（2）求k，并推斷是否存在某個月既無盈利也不虧損；
（3）在這一年12個月中，若第m個月和第（m+1）個月的利潤相差最大，求m．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，設y=a+ ，

由表中數據可得： ，解得： ，

∴y=6+ ，

由題意，若12=18﹣（6+ ），則 =0，

∵x＞0，

∴ ＞0，

∴不可能

（2）解：將n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3），得：120=2﹣2k+9k+27，

解得：k=13，

∴x=2n2﹣26n+144，

將n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合，

∴k=13；

由題意，得：18=6+ ，

解得：x=50，

∴50=2n2﹣26n+144，即n2﹣13n+47=0，

∵△=（﹣13）2﹣4×1×47＜0，

∴方程無實數根，

∴不存在

（3）解：第m個月的利潤為W，

W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+ ）

=12（x﹣50）

=24（m2﹣13m+47），

∴第（m+1）個月的利潤為W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），

若W≥W′，W﹣W′=48（6﹣m），m取最小1，W﹣W′取得最大值240；

若W＜W′，W﹣W′=48（m﹣6），由m+1≤12知m取最大11，W﹣W′取得最大值240；

∴m=1或11

【解析】（1）設y=a+ ，將表中相關數據代入可求得a、b，根據12=18﹣（6+ ），則 =0可作出判斷；（2）將n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9（k+3）可求得k的值，先由18=6+ 求得x=50，根據50=2n2﹣26n+144可判斷；（3）第m個月的利潤W=x（18﹣y）=18x﹣x（6+ ）=24（m2﹣13m+47），第（m+1）個月的利潤為W′=24[（m+1）2﹣13（m+1）+47]=24（m2﹣11m+35），分情況作差結合m的范圍，由一次函數性質可得．