Question

【題目】如圖，將邊長為6的正三角形紙片ABC按如下順序進行兩次折疊，展平后，得折痕AD，BE（如圖①），點O為其交點．

（1）探求AO到OD的數量關系，并說明理由；

（2）如圖②，若P，N分別為BE，BC上的動點．

（Ⅰ）當PN+PD的長度取得最小值時，求BP的長度；

（Ⅱ）如圖③，若點Q在線段BO上，BQ=1，則QN+NP+PD的最小值= ．

Answer 1

【答案】（1）AO=2OD；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題（1）根據等邊三角形的性質得到∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，得到AO=OB，根據直角三角形的性質即可得到結論；

（2）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值，根據線段垂直平分線的想知道的BD=BD′，推出△BDD′是等邊三角形，得到BN=BD=，于是得到結論；

（3）如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．根據軸對稱的定義得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，解直角三角形即可得到結論．

試題解析：解：（1）AO=2OD．理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，∴AO=OB，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴∠BDO=90°，∴OB=2OD，∴OA=2OD；

（2）如圖②，作點D關于BE的對稱點D′，過D′作D′N⊥BC于N交BE于P，則此時PN+PD的長度取得最小值．∵BE垂直平分DD′，∴BD=BD′，∵∠ABC=60°，∴△BDD′是等邊三角形，∴BN=BD=．∵∠PBN=30°，∴，∴PB=；

（3）如圖③，作Q關于BC的對稱點Q′，作D關于BE的對稱點D′，連接Q′D′，即為QN+NP+PD的最小值．

根據軸對稱的定義可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，∴△BQQ′為等邊三角形，△BDD′為等邊三角形，∴∠D′BQ′=90°，∴在Rt△D′BQ′中，D′Q′==，∴QN+NP+PD的最小值=．故答案為：．