Question

已知：如圖，直線與x軸相交于點A，與直線相交于點P(2，)．

(1)請判斷的形狀并說明理由．
(2)動點E從原點O出發，以每秒1個單位的速度沿著O→P→A的路線向點A勻速運動(E不與點O、A重合)，過點E分別作EF⊥軸于F，EB⊥軸于B．設運動t秒時，矩形EBOF與△OPA重疊部分的面積為S．
求：① S與t之間的函數關系式．
② 當t為何值時，S最大，并求S的最大值

Answer 1

（1）△POA是等邊三角形；
(2)①當0<t≤4時，S=，當4<t<8時，S=－+4t－8；②當t=時，S_最大=．

試題分析：（1）由兩直線相交可列出方程組，求出P點坐標；
（2）將y=0代入y=﹣x+4，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，利用tan∠POA=，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等邊三角形；
（3）①當0＜t≤4時，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，可以求出EF，OF，從而得到S；
②分情況討論當0<t≤4時，t=4時，當4<t<8時，S的值，最終求出最大值．
試題解析：
△POA是等邊三角形．理由：
將代入
，
∴，即OA=4
作PD⊥OA于D，則OD=2，PD=2，
∵ tan∠POA= ，
∴∠POA=60°，
∵ OP= 
∴△POA是等邊三角形 ；
(2)① 當0<t≤4時，如圖1

在Rt△EOF中，
∵∠EOF=60°，OE=t
∴EF=t，OF=t
∴S=·OF·EF=  
當4<t<8時，如圖2

設EB與OP相交于點C，
易知：CE=PE=t－4，AE=8－t，
∴AF=4－，EF=(8－t)， 
∴OF=OA－AF=4－(4－t)=t，
∴S=(CE+OF)·EF，
=(t－4+t)×(8－t)，
=－+4t－8 ；
② 當0<t≤4時，S=， t=4時，S_最大=2
當4<t<8時，S=－+4t－8=－(t－)+ 
t=時，S_最大=
∵>2，
∴當t=時，S_最大=．