Question

已知直線y=-x+7與反比例函數(shù)y=

k

x

（k＞0，x＞0）交于A、B兩點，與坐標軸交于C、D兩點，若S_△BOC=

7

2

，且∠AOD=∠BOC．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求證：OA=OB；
（3）y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上是否存在點P，使S_△AOP=S_△BOP，若存在，求P點的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先求得OC的長，根據(jù)S_△BOC=

7

2

，即求得B的縱坐標，代入直線的解析式，即可求得B的坐標，然后利用待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式；
（2）求出OD的長，則△OCD是等腰三角形，過O作CD的垂線，利用三線合一定理即可求證；
（3）OA=OB，S_△AOP=S_△BOP，則P到OA，OB的距離相等．P一定在直線OM上．直線OM的解析式是：y=x，代入反比例函數(shù)解析式即可求解．

解答：解：（1）在y=-x+7中，令y=0，解得x=7．則OC=7．
作BN⊥x軸于N．
∵S_△BOC=

1

2

OC•BN=

7

2

BN=

7

2

，
∴BN=1．即B的縱坐標是1．
把y=1代入y=-x+7，解得：x=6．
故B的坐標是：（6，1）．
把（6，1）代入y=

k

x

得：k=6．
則反比例函數(shù)的解析式是：y=

6

x

．

（2）作OM⊥CD．
在y=-x+7中，令x=0，解得：y=7，則OD=7．
∴OC=OD
∵OM⊥CD
∴∠DOM=∠COM
∵∠AOD=∠BOC．
∴∠AOM=∠BOM
∴OA=OB；

（3）∵OA=OB，S_△AOP=S_△BOP，
∴P到OA，OB的距離相等．
∴P一定在直線OM上．直線OM的解析式是：y=x．
把y=x代入y=

6

x

．
解得：x=y=

6

．
則P的坐標是：（

6

，

6

）．

點評：本題是反比例函數(shù)與等腰三角形的綜合題，關(guān)鍵是理解等腰三角形的性質(zhì)，理解（3）中P滿足的條件．