Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于點E，交AM于點D，交BN于點C，
（1）求證：OD∥BE；
（2）如果OD=6cm，OC=8cm，求CD的長．

Answer 1

（1）證明見解析（2）10

解：（1）證明：連接OE，
∵AM、DE是⊙O的切線，OA、OE是⊙O的半徑，
∴∠ADO=∠EDO， ∠DAO=∠DEO=90°。
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE。
∵∠ABE=∠AOE，∴∠AOD=∠ABE。
∴OD∥BE。
（2）由（1）得：∠AOD=∠EOD=∠AOE，
同理，有：∠BOC=∠EOC=∠BOE。
∴∠AOD+∠EOD+∠BOC+∠EOC=180°。∴∠EOD+∠EOC=90°。
∴△DOC是直角三角形。
∵OD=6cm，OC=8cm，
∴（cm） 。
（1）首先連接OE，由AM和BN是它的兩條切線，易得∠ADO=∠EDO，∠DAO=∠DEO=90°，由切線長定理，可得∠AOD=∠EOD=∠AOE，∠AOD=∠ABE，根據同位角相等，兩直線平行，即可證得OD∥BE。
（2）由（1），易證得∠EOD+∠EOC=90°，然后利用勾股定理，即可求得CD的長。