Question

矩形OABC在直角坐標系中的位置如圖所示，A、C兩點的坐標分別為A（10，0）、C（0，3），直線與BC相交于點D，拋物線y=ax²+bx經過A、D兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接AD，試判斷△OAD的形狀，并說明理由．
（3）若點P是拋物線的對稱軸上的一個動點，對稱軸與OD、x軸分別交于點M、N，問：是否存在點P，使得以點P、O、M為頂點的三角形與△OAD相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得，點D的縱坐標為3，
∵點D在直線y=x上，
∴點D的坐標為（9，3），
將點D（9，3）、點A（10，0）代入拋物線可得：，
解得：，
故拋物線的解析式為：y=-x²+x．

（2）∵點D坐標為（9，3），點A坐標為（10，0），
∴OA=10，OD==3，AD==，
從而可得OA²=OD²+AD²，
故可判斷△OAD是直角三角形．

（3）①由圖形可得當點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA，

此時∠POM=∠DOA，∠OPM=∠ODA，
故可得△OPM∽△ODA，OP=OA=5，
即可得此時點P的坐標為（5，0）．
②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′，此時也可滿足△P′OM∽△ODA，

由題意可得，點M的橫坐標為5，代入直線方程可得點M的縱坐標為，
故可求得OM=，
∵∠OP′M+∠OMN=∠DOA+∠OMN=90°，
∴∠OP′M=∠DOA，
∴△P′OM∽△ODA，
故可得=，即=，
解得：MP′=，
又∵MN=點M的縱坐標=，
∴P′N=-=15，
即可得此時點P′的坐標為（5，-15）．
綜上可得存在這樣的點P，點P的坐標為（5，0）或（5，-15）．
分析：（1）根據題意可得出點D的縱坐標為3，代入直線解析式可得出點D的橫坐標，從而將點D和點A的坐標代入可得出拋物線的解析式．
（2）分別求出OA、OD、AD的長度，繼而根據勾股定理的逆定理可判斷出△OAD是直角三角形．
（3）①由圖形可得當點P和點N重合時能滿足△OPM∽△ODA，②過點O作OD的垂線交對稱軸于點P′，此時也可滿足△P′OM∽△ODA，利用相似的性質分別得出點P的坐標即可．
點評：此題考查了二次函數的綜合題，解答本題的關鍵是結合直線解析式求出點D的坐標，得出拋物線的解析式，在第三問的解答中要分類討論，不要漏解．