Question

如圖，已知⊙O的半徑為1，PQ是⊙O的直徑，n個相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都關于PQ對稱，其中第一個的頂點與點P重合，第二個的頂點是與PQ的交點，…，最后一個的頂點、在圓上．求正三角形的邊長=         , =           , =         .

Answer 1

    

分析：（1）設PQ與B₁C₁交于點D，連接OB₁，由特殊角的三角函數值可得，OD=A₁D-OA₁= a₁-1，再由勾股定理即可求出a₁的值；
（2）設PQ與B₂C₂交于點E，連接OB₂，由特殊角的三角函數值可得OE=2A₁A₂-OA₁=a₂-1，再由Rt△OB₂E勾股定理即可求出a₂的值；
（3）設PQ與B_nC_n交于點F，連接OBn，則OF=na_n-1，在Rt△OB_nF中利用勾股定理可得，a_n=．
解答：解：（1）設PQ與B₁C₁交于點D，連接OB₁，

則OD=A₁D-OA₁=a₁-1，
在Rt△OB₁D中，OB₁²=B₁D²+OD²，
即1²=（a₁）²+（a₁-1）²，
解得，a₁=；
（2）設PQ與B₂C₂交于點E，連接OB₂，則OE=2A₁A₂-OA₁=a₂-1，
在Rt△OB₂E中，OB₂²=B₂E²+OE²，
即1²=（a₂）²+（a₂-1）²，
解得，a₂=；
（3）設PQ與B_nC_n交于點F，連接OBn，則OF=na_n-1，
在Rt△OB_nF中，OB_n²=B_nF²+OF²，
即1²=（a_n）²+（na_n-1）²，
解得，a_n=．
故答案為：