Question

如圖，⊙O的弦AD∥BC，過點D的切線交BC的延長線于點E，AC∥DE交BD于點H，DO及延長線分別交AC、BC于點G、F.
（1）求證：DF垂直平分AC；
（2）求證：FC＝CE；
（3）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半徑.

Answer 1

解：（1）∵DE是⊙O的切線，且DF過圓心O
∴DF⊥DE
又∵AC∥DE
∴DF⊥AC
∴DF垂直平分AC    
（2）由（1）知：AG＝GC
又∵AD∥BC
∴∠DAG＝∠FCG
又∵∠AGD＝∠CGF
∴△AGD≌△CGF（ASA）
∴AD＝FC    
∵AD∥BC且AC∥DE
∴四邊形ACED是平行四邊形
∴AD＝CE  
∴FC＝CE   
（3）連結AO；

∵AG＝GC，AC＝8cm，∴AG＝4cm
在Rt△AGD中，由勾股定理得 GD＝
設圓的半徑為r，則AO＝r，OG＝r-3
在Rt△AOG中，由勾股定理得 AO²＝OG²+AG²
有：r²＝(r-3)²+4²解得 r＝ 
∴⊙O的半徑為cm.

（1）由DE是⊙O的切線，且DF過圓心O，可得DF⊥DE，又由AC∥DE，則DF⊥AC，進而可知DF垂直平分AC；
（2）可先證△AGD≌△CGF，四邊形ACED是平行四邊形，即可證明FC=CE；
（3）連接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；設圓的半徑為r，則AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得r=