Question

【題目】如圖，在ABCD中，AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，交CD于點E、F，AE、BF相交于點M．
（1）試說明：AE⊥BF；
（2）判斷線段DF與CE的大小關系，并予以說明．

Answer 1

【答案】
（1）解：方法一：如圖①，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°．

∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC，

∴∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF．

∴2∠BAE+2∠ABF=180°．

即∠BAE+∠ABF=90°．

∴∠AMB=90°．

∴AE⊥BF．

方法二：如圖②，延長BC、AE相交于點P，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB．

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB．

∴∠APB=∠PAB．

∴AB=BP．

∵BF平分∠ABP，

∴AP⊥BF，

即AE⊥BF

（2）解：方法一：線段DF與CE是相等關系，即DF=CE，

∵在ABCD中，CD∥AB，

∴∠DEA=∠EAB．

又∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠EAB．

∴∠DEA=∠DAE．

∴DE=AD．

同理可得，CF=BC．

又∵在ABCD中，AD=BC，

∴DE=CF．

∴DE﹣EF=CF﹣EF．

即DF=CE．

方法二：如圖，延長BC、AE設交于點P，延長AD、BF相交于點O，

∵在ABCD中，AD∥BC，

∴∠DAP=∠APB．

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB．

∴∠APB=∠PAB．

∴BP=AB．

同理可得，AO=AB．

∴AO=BP．

∵在ABCD中，AD=BC，

∴OD=PC．

又∵在ABCD中，DC∥AB，

∴△ODF∽△OAB，△PCE∽△PBA．

∴ = ， = ．

∴DF=CE．

【解析】（1）因為AE，BF分別是∠DAB，∠ABC的角平分線，那么就有∠MAB= ∠DAB，∠MBA= ∠ABC，而∠DAB與∠ABC是同旁內角互補，所以，能得到∠MAB+∠MBA=90°，即得證．（2）兩條線段相等．利用平行四邊形的對邊平行，以及角平分線的性質，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF=BC=AD=DE，再利用等量減等量差相等，可證．
【考點精析】認真審題，首先需要了解角平分線的性質定理(定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上)，還要掌握平行四邊形的性質(平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分)的相關知識才是答題的關鍵．