Question

【題目】（1）如圖（1），在△ABC中，AD、AE分別是△ABC的高和角平分線，已知：∠B=30°，∠C=50°．求∠DAE的度數；

（2）如圖（2），∠BAC的角平分線AF交BC于點E，過點F作FD⊥BC于點D，若∠B = x°，∠C =（x+30）° .

①∠CAE =　 　（含x的代數式表示）②求∠F的度數．

Answer 1

【答案】（1）∠DAE = 10° ；（2） ①∠CAE = (75－x) °，② ∠F =15°

【解析】試題分析：（1）先根據三角形內角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，再根據角平分線與高線的定義得到∠CAE=∠CAB=50°，∠ADC=90°，則∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD計算即可；

（2）根據題意可知∠B=x°，∠C=（x+30）°，根據三角形的內角和定理可知∠ADC+∠DAC+∠C=180°，∠ADC=∠B+∠BAF，根據角平分線的性質，可知∠EAC=∠BAF，可得出∠ADC的度數，再根據FD⊥BC，可得出∠F的度數．

試題解析：（1）∵∠B=30°，∠C=50°，

∴∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，

∵AD是△ABC角平分線，

∴∠CAE=∠CAB=50°，

∵AE是△ABC的高，

∴∠ADC=90°，

∴∠CAD=90°-∠C=40°，

∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°；

（2）①∵∠B=x°，∠C=（x+30）°，AF平分∠BAC，

∴∠EAC=∠BAF，

∴∠CAE=×[180°-x°-（x+30）°]=75°-x°，

②∠AEC=∠BAE+∠B=75°，

∵FD⊥BC，

∴∠F=15°．