Question

【題目】如圖，動手操作：長為1，寬為a的長方形紙片（<a<l），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于長方形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的長方形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時長方形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復操作下去．若在第n此操作后，剩下的長方形為正方形，則操作終止．當n＝3時，a的值為（ ）

A.B.或C.或D.或

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據操作步驟，可知每一次操作時所得正方形的邊長都等于原長方形的寬．所以首先需要判斷長方形相鄰的兩邊中，哪一條邊是長方形的寬．當＜a＜1時，長方形的長為1，寬為a，所以第一次操作時所得正方形的邊長為a，剩下的長方形相鄰的兩邊分別為1-a，a．由1-a＜a可知，第二次操作時所得正方形的邊長為1-a，剩下的長方形相鄰的兩邊分別為1-a，a-（1-a）=2a-1．由于（1-a）-（2a-1）=2-3a，所以（1-a）與（2a-1）的大小關系不能確定，需要分情況進行討論．又因為可以進行三次操作，故分兩種情況：①1-a＞2a-1；②1-a＜2a-1．對于每一種情況，分別根據第三次操作后剩下的長方形為正方形，則第二次操作后剩下的長方形的長為寬的2倍，列出方程，即可求出a的值．

解：由題意，可知當＜a＜1時，第一次操作后剩下的長方形的長為a，寬為1-a，所以第二次操作時正方形的邊長為1-a，第二次操作以后剩下的長方形的兩邊分別為1-a，a-（1-a）=2a-1，此時，分兩種情況：
①如果1-a＞2a-1，即a＜，那么第三次操作時正方形的邊長為2a-1．
∵經過第三次操作后所得的長方形是正方形，
∴1-a=2（2a-1），解得a=；
②如果1-a＜2a-1，即a＞，那么第三次操作時正方形的邊長為1-a．
則2（1-a）=2a-1，解得a=．
故選：D．