Question

如圖，△ABC內接于⊙O，∠A所對弧的度數為120度．∠ABC、∠ACB的角平分線分別交于AC、AB于點D、E，CE、BD相交于點F．以下四個結論：①cos∠BFE=；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中結論一定正確的序號數是    ．

Answer 1

【答案】分析：①由于∠A所對弧的度數為120°，根據圓周角定理可知∠A=60°；在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°，即∠FBC+∠FCB=60°，而∠BFE正好是△BFC的外角，即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°，即cos∠BFE=；故正確；
②若BC=BD，需滿足一個條件：∠BCD=∠BDC，且看這兩個角的表達式：∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA；∠BDC=∠DBA+∠A=60°+∠DBA；聯立兩式，可得∠DBA=20°；此時∠ABC=40°，而沒有任何條件可以說明∠ABC的度數是40°，即可得出本選項錯誤．
③由于F是∠ABC和∠ACB角平分線的交點，因此F是△ABC的內心，可過F作AB、AC的垂線，通過證構建的直角三角形全等，得出FE=FD的結論，因結論正確；
④若BF=2DF，則F是△ABC的重心，即三邊中線的交點，而題目給出的條件是F是△ABC的內心，顯然兩者的結論相矛盾，因此不正確．
所以本題正確的結論：①③．
解答：解：∵∠A所對弧的度數為120°
∴∠A=60°
∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120°
∵∠ABC、∠ACB的角平分線分別是BD，CE
∴∠CBF+∠BCF=（∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE
∴cos∠BFE=，
∴即cos∠BFE=；故①正確；
∵∠BDC=∠A+∠ABC=60°+∠DBA
∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA
若BC=BD成立，則應有∠BDC=∠BCA
應有60°+∠DBA=120°-2∠DBA，
即∠DBA=20°，
此時∠ABC=40°，
∴∠BCD=∠BDC=80°，
而根據題意，沒有條件可以說明∠ABC是40°，
故②錯誤；
∵點F是△ABC內心，作FW⊥AC，FS⊥AB
則FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120°
∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD
∴FD=FE，故③正確；
由于點F是內心而不是各邊中線的交點，故BF=2DF不一定成立，因此④不正確．
因此本題正確的結論為①③．
故答案為：①③．
點評：本題利用了三角形內角和定理，余弦的概念，角的平分線的性質，圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．