Question

【題目】如圖，點D是△ABC內一點，點E，F，G，H分別是AB，AC，CD，BD的中點。

（1）求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）已知AD＝6，BD＝4，CD＝3，∠BDC＝90°，求四邊形EFGH的周長。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）周長為：11.

【解析】

（1）根據三角形的中位線的定理和平行四邊形的判定即可解答；

（2）利用勾股定理列式求出BC的長，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入數據進行計算即可得解.

（1）證明：∵點E，F 分別是AB，AC 的中點，

∴EF 是△ABC 的中位線，∴EF∥BC 且EF＝BC；

又∵點H，G 分別是BD，CD 的中點，∴HG 是△BCD 的中位線，∴HG∥BC

且HG＝BC；

∴EF∥HG 且EF＝HG，∴四邊形EFGH 是平行四邊形.

（2）∵點E，H 分別是AB，BD 的中點，∴EH 是△ABD 的中位線，∴EH＝AD＝3；

∵∠BDC＝90°，∴△BCD 是直角三角形；

在Rt△BCD 中，CD＝3，BD＝4，∴由勾股定理得：BC＝5；

∵HG＝BC，∴HG＝；

由（1）知，四邊形EFGH 是平行四邊形，∴周長為2EH+2HG＝11.