Question

圖1是兩個正方形紙片ABCD和CEFG疊放在一起，分別以BC邊所在直線和BC邊的中垂線為坐標軸建立如圖所示的坐標系，其中B（﹣2，0），E（2，），C（2，0），固定正方形ABCD，直線L經過AC兩點；將正方形CEFG繞點C順時針旋轉135°得到正方形CE₁F₁G₁．
（1）在圖2中求點E₁的坐標，并直接寫出點E₁與直線L的位置關系．
（2）利用（1）的結論，將圖2中的正方形CE₁F₁G₁在射線CA上沿著CA方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的正方形CE₁F₁G₁設為正方形PQRH（圖3），當點R移動到點A停止，設正方形PQRH移動的時間為t秒，正方形PQRH與正方形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數解析式，并寫出函數自變量t的取值范圍．
（3）在（2）的條件下，如果S=1時，過BP的直線為m，M點為直線m上的動點，N為直線L上的動點，那么是否存在平行四邊形MNBC，如果存在，請求出M點的坐標，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由E點坐標可知正方形CEFG邊長為，
那么其對角線CF長度為2，
正方形CEFG繞點C順時針旋轉135° 后，
CE與x軸夾角為45°，
C坐標為（2，0），
那么E₁坐標為（3，﹣1），E₁在直線L上；
（2）當0≤t≤時，S=t²；
當<t≤2時，S=﹣t²+2t﹣2；
當2<t≤3時，S=2；
當3<t≤4時 S=﹣t²+3t﹣7；
當4<t≤5時，S=t²﹣5t+25；
（3）S=1時，當t≤時，t²=1，解得：t=；
當<t≤2時，2﹣（2﹣t）²=1，解得：t=或3（舍去）；
當2<t≤4時，（4﹣t）²=1，解得：t=3或5（5不合題意，舍去）．
則t=或3．
①當t=時，那么P位于CD中點處，P的坐標是：（2，2），
設直線m的解析式是y=kx+b，
則，解得：，
則直線m表達式y=x+1，直線L表達式y=﹣x+2，
設MN的縱坐標是a，
則在y=x+1中，令y=a，解得：x=2（a﹣1），
則M的橫坐標是2（a﹣1）；
在y=﹣x+2中，令y=a，則x=2﹣a，
即N的橫坐標是：（2﹣a）．
∵BC=4，
則：2（a﹣1）﹣（2﹣a）=4，解得：a=，
把y=代入y=x+1中，解得：x=．
則M的坐標為；
②當t=3時，P是AD與y軸的交點，則P的坐標是：（0，4）．
設直線m的解析式是y=kx+b，
則，解得：，
則m的解析式是：y=2x+4．
同①方法相同，設MN的縱坐標是a，
則在y=2x+4中，令y=a，解得：x=（a﹣4），
則M的橫坐標是（a﹣1）；
在y=﹣x+2中，令y=a，則x=2﹣a，
即N的橫坐標是：（2﹣a）．
根據BC=4，則：（a﹣4）﹣（2﹣a）=4，
解得：a=，把y=代入y=2x+4中，解得x=．
則M的坐標是：（，）．
故M的坐標是：（，）或（，）．