Question

【題目】閱讀下列兩則材料，回答問題

材料一：我們將+與﹣稱為一對“對偶式”因為（+）（）＝（）2＝a﹣b，所以構造“對偶式”相乘可以將+與﹣中的“”去掉．

例如：已知＝2，求+的值，

解：（）（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10，

∵﹣＝2，

∴+＝5，

材料二：如圖1，點A（x1，y1），點B（x2，y2），以AB為斜邊作Rt△ABC，則C（x2，y1）AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|．所以AB＝．反之，可將代數式的值看作點A（x1，y1）到點B（x2，y2）的距離，例如＝＝＝，所以可將代數式的值看作點（x，y）到點（1，﹣1）的距離．

（1）利用材料一，解關于x的方程：＝5，其中x≤10；

（2）利用材料二，求代數式+ 的最小值，并求出此時y與x的函數關系式，寫出x的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設該式子取得最小值時的圖形端點為M、N，直接寫出將y與x的函數圖象向左平移_____個單位時恰好經過點Q（﹣2，），并直接判定此時△MNQ的形狀是______三角形．

Answer 1

【答案】（1）x＝9；（2）y＝﹣7x+11（1≤x≤2）；最小值為5；（3），銳角．

【解析】

（1）根據（+）（﹣）＝25﹣x﹣10+x＝15，+＝5，推出﹣＝3，求出，的值即可解決問題．

（2）由代數式＝，可知求代數式的最小值，可以轉化為找一點P（x，y），使得點P到M（1，4）和N（2，﹣3）的距離之和最小，這個最小值是線段MN的長，點P在線段MN上，由此即可解決問題．

（3）設平移后的直線的解析式為y＝﹣7x+m，把點Q（﹣2，）代入，可得平移后的直線的解析式為y＝﹣7x﹣，求出兩直線與x軸的交點坐標，即可求出平移的距離，再利用兩點間距離公式，結合勾股定理的逆定理即可解決問題．

解：（1）∵（+）（﹣）＝25﹣x﹣10+x＝15， +＝5，

∴﹣＝3，

∴＝4，＝1，

∴x＝9．

（2）∵代數式+

＝+，

∴求代數式+的最小值，可以轉化為找一點P（x，y），使得點P到M（1，4）和N（2，﹣3）的距離之和最小，這個最小值是線段MN的長，點P在線段MN上，

∵MN＝＝5，

∴代數式+的最小值為5，

設直線MN的解析式為y＝kx+b，則有，

解得，

∴此時y與x的函數關系式：y＝﹣7x+11（1≤x≤2）．

（3）設平移后的直線的解析式為y＝﹣7x+m，

把點Q（﹣2，）代入得到：＝14+m，

m＝﹣，

∴平移后的直線的解析式為y＝﹣7x﹣，

∵直線y＝﹣7x+11交x軸于（，0），直線y＝﹣7x﹣交x軸于（﹣，0），

∴平移的距離＝+＝，

∵M（1，4），N（2，﹣3），Q（﹣2，），

∴MN2＝50，MQ2＝32+（）2，NQ2＝42+（）2，

∴MN＞MQ，MN＞NQ，

∵MQ2+NQ2＝25+＜50，

∴∠MQN＜90°，

∴△MNQ是銳角三角形．

故答案為，銳角．