Question

【題目】閱讀下面材料并解決有關問題：

我們知道：|x|=．現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，現在我們可以用這一結論來化簡含有絕對值的代數式，如化簡代數式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1=0和x﹣2=0，分別求得x=﹣1，x=2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在實數范圍內，零點值x=﹣1和，x=2可將全體實數分成不重復且不遺漏的如下3種情況：

①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．

從而化簡代數式|x+1|+|x﹣2|可分以下3種情況：

①當x＜﹣1時，原式=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1；

②當﹣1≤x＜2時，原式=x+1﹣（x﹣2）=3；

③當x≥2時，原式=x+1+x﹣2=2x﹣1．綜上討論，原式=．

通過以上閱讀，請你解決以下問題：

（1）化簡代數式|x+2|+|x﹣4|．

（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）當x＜﹣2時，﹣2x+2；當﹣2≤x＜4時， 6；當x≥4時，2x﹣2；（2）2．

【解析】試題分析：（1）分為x<-2、-2≤x<4、x≥4三種情況化簡即可；

（2）分x<-1、-1≤x≤1、x>1分別化簡，結合x的取值范圍確定代數式值的范圍，從而求出代數式的最大值．

解：（1）當x＜﹣2時，|x+2|+|x﹣4|=﹣x﹣2+4﹣x=﹣2x+2；

當﹣2≤x＜4時，|x+2|+|x﹣4|=x+2+4﹣x=6；

當x≥4時，|x+2|+|x﹣4|=x+2+x﹣4=2x﹣2；

（2）當x＜﹣1時，原式=3x+5＜2，

當﹣1≤x≤1時，原式=﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，

當x＞1時，原式=﹣3x﹣5＜﹣8，

則|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值為2．