Question

如圖，拋物線y=-x²+4與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上的一個動點且在第一象限，過點P作x軸的垂線，垂足為D，交直線BC于點E．
（1）求點A、B、C的坐標和直線BC的解析式；
（2）求△ODE面積的最大值及相應的點E的坐標；
（3）是否存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在拋物線解析式y=-x²+4中，令y=0，解方程可求得點A、點B的坐標；令x=0，可求得頂點C的坐標．已知點B、C的坐標，利用待定系數法求出直線BC的解析式；
（2）求出△ODE面積的表達式，利用二次函數的性質求出最大值，并確定點E的坐標；
（3）本問為存在型問題．因為△OAC與△OPD都是直角三角形，需要分類討論：
①當△PDO∽△COA時，由得PD=2OD，列方程求出點P的坐標；
②當△PDO∽△AOC時，由得OD=2PD，列方程求出點P的坐標．
解答：解：（1）在y=-x²+4中，當y=0時，即-x²+4=0，解得x=±2．
當x=0時，即y=0+4，解得y=4．
所以點A、B、C的坐標依次是A（-2，0）、B（2，0）、C（0，4）．
設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則，解得．
所以直線BC的解析式為y=-2x+4．         …3分

（2）∵點E在直線BC上，
∴設點E的坐標為（x，-2x+4），
則△ODE的面積S可表示為：．
∴當x=1時，△ODE的面積有最大值1．
此時，-2x+4=-2×1+4=2，
∴點E的坐標為（1，2）．  …5分

（3）存在以點P、O、D為頂點的三角形與△OAC相似，理由如下：
設點P的坐標為（x，-x²+4），0＜x＜2．
因為△OAC與△OPD都是直角三角形，分兩種情況：
①當△PDO∽△COA時，，，
解得，（不符合題意，舍去）．
當時，．
此時，點P的坐標為．
②當△PDO∽△AOC時，，，
解得，（不符合題意，舍去）．
當時，=．
此時，點P的坐標為．
綜上可得，滿足條件的點P有兩個：，．   …9分．
點評：本題是二次函數壓軸題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、二次函數的最值、相似三角形、解方程等知識點，難度不大．第（3）問是存在型問題，可能存在兩種符合條件的情況，需要分類討論，避免漏解．