Question

矩形ABCD的邊長AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標系中，使AB在x軸的正半軸上，點A在點B的左側，另兩個頂點都在第一象限，且直線y=

3

2

x-1經過這兩個頂點中的一個．
（1）求A、B、C、D四點坐標；
（2）以AB為直徑作⊙M，記過A、B兩點的拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P．
①若P點在⊙M和矩形內，求a的取值范圍；
②過點C作CF切⊙M于E，交AD于F，當PF∥AB時，求拋物線的函數解析式．

Answer 1

分析：（1）本題可先設A點的坐標，然后根據AB，AD的長，表示出矩形另外三點的坐標；已知了直線過矩形中C、D兩點中的其中一個，因此要分類進行求解．分別計算出直線過C點和過D點時得出的A的橫坐標的值，然后可根據A點在x軸的正半軸或D，C在第一象限將不合題意的值舍去即可得出A，B，C，D四點的坐標．
（2）①本題可根據A、B兩點的坐標用交點式二次函數通式設出拋物線的解析式，然后用a表示出頂點P的坐標，進而可依據“P點在⊙M和矩形內”和圓的半徑的長求出a的取值范圍．
②根據切線長定理不難得出FE=AF，CE=CB，如果PF∥AB，設PF與BC交于G點，那么可用P點的縱坐標表示出EF，AF的長，進而可表示出CF，CG的長，那么可在直角三角形CFG中用勾股定理求出a的值，也就能得出拋物線的解析式．

解答：解：（1）首先畫圖．設點A坐標為（x，0）

又∵AB=3，AD=2且點A在點B的左側．AB在x軸的正半軸上．
又∵ABCD為矩形，則點B、C、D的坐標分別為（x+3，0），（x+3，2），（x，2）
∴直線y=

3

2

x-1，經過這兩個頂點中的一個．
當其經過點C時，

3

2

(x+3)=3
∴x=-1
又∵點A在x軸正半軸上
∴x＞0
∴x=-1舍去
當其經過點D時，

3

2

x-1=2
∴x=2，符合題意．
∴A、B、C、D四點坐標分別為（2，0）、（5，0）、（5，2）、（2，2）

（2）①∵此拋物線過點A．B
∴可設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-5）=ax²-7ax+10a（a≠0）
∴其頂點P的坐標為(

7

2

，-

9

4

a)
而⊙M的圓心M的坐標為(

7

2

，0)，半徑為

3

2

∴若P點在⊙M和矩形內，則0＜-

9

4

a＜

3

2

，
∴-

2

3

＜a＜0．
②設點F坐標為（2，y），則FA=y
∵CF切⊙M于E，CB、FA均為⊙M的切線，
根據切線長定理有CE=BC=2，EF=AF=-

9

4

a，
設直線PF與BC相交于G，在直角三角形CFG中，
CF²=FG²+CG²，CG=BC-AF=2+

9

4

a，CF=BC+EF=2-

9

4

a；
∴（2-

9

4

a）²=（2+

9

4

a）²+9
解得a=-

1

2

∴拋物線的解析式為y=-

1

2

（x-2）（x-5）=-

1

2

x²+

7

2

x-5．

點評：本題主要考查了矩形的性質、二次函數解析式的確定、切線長定理、勾股定理等知識點．綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．