Question

如圖，AB是⊙的直徑，弦CD與AB交于點E，過點作⊙的切線與的延長線交于點，如果，，為的中點．

（1）求證：；

（2）求AB的長．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)聯結

∵為的切線

∴⊥即=

∵為的中點，   ∴

∴    

∵為的直徑，

∴

∵=

∴     

∴

(2) 作

∵⊥，∴

∵,，∴

可得                  

∵∴

中，

∴=：                   

在中，

∴                

【解析】（1）連接BC，由AF為圓O的切線，利用切線的性質得到AB與AF垂直，可得出∠DAF與∠DAB互余，再由D為EF的中點，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半及中點的定義得到AD=DE=DF，利用等邊對等角得到∠DAF=∠AFC，又AB為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角，可得出∠ACB為直角，即∠ECB與∠FCA互余，再由同弧所對的圓周角相等得到∠ECB=∠DAB，利用等角的余角相等可得出∠DAF=∠FCA，等量代換可得出∠FCA=∠AFC；

（2）過C作CG垂直于AB，垂足為G，又AF垂直于AB，利用平面內垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AF與CG平行，根據兩直線平行內錯角相等得到一對角相等，再由對頂角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出三角形AEF與三角形ECG相似，由相似得比例列出比例式，由DF=DE及DE與EC的比值，求出CE與EF的比值，可得出AF與CG的比值，又AF=AC，進而確定出AC與CG的比值，利用銳角三角形函數定義求出cos∠CAB的值，在直角三角形ABC中，由AC的長及cos∠CAB的值，利用銳角函數定義即可求出AB的長．