Question

【題目】如圖，已知⊙的半徑為， 為直徑， 為弦． 與交于點，將 沿著翻折后，點與圓心重合，延長至，使，鏈接．

（）求的長．

（）求證： 是⊙的切線．

（）點為的中點，在延長線上有一動點，連接交于點，交于點（與、不重合）．則為一定值．請說明理由，并求出該定值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），理由見解析.

【解析】試題分析：（1）連接OC，根據翻折的性質求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO=90°，再根據圓的切線的定義證明即可；（3）連接GA、AF、GB，根據等弧所對的圓周角相等可得∠BAG=∠AFG，然后根據兩組角對應相等兩三角相似求出△AGE和△FGA相似，根據相似三角形對應邊成比例可得，從而得到GEGF=AG2，再根據等腰直角三角形的性質求解即可．

（）連接，

∵沿翻折后， 與重合，

∴，

∴，

∵，

∴．

（）∵， ，

∵， ，

∴，

∵， ，

∵，

∴，

∴是⊙的切線．

（）， 為定值，

連接， ， ，

∵點為的中點，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∵為直徑， ，

∴，

∴，

∴．