Question

【題目】如圖，在△ABC 中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，設MN交∠BCA的角平分線于點E，交∠BCA的外角∠ACG平分線于點F．

（1）試說明EO=FO；

（2）當點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．

（3）當點O運動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF 是正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2) 當點O運動到AC的中點時,理由見解析;(3) 點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時,理由見解析.

【解析】（1）由已知MN∥BC，CE、CF分別平分∠BCO和∠GCO，可推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，所以得EO=CO=FO．
（2）由（1）得出的EO=CO=FO，點O運動到AC的中點時，則由EO=CO=FO=AO，所以這時四邊形AECF是矩形．
（3）由已知和（2）得到的結論，點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，則推出四邊形AECF是矩形且對角線垂直，所以四邊形AECF是正方形．

解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
∵當點O運動到AC的中點時，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四邊形AECF是矩形．
（3）當點O運動到AC的中點時，且△ABC滿足∠ACB為直角的直角三角形時，四邊形AECF是正方形．
∵由（2）知，當點O運動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
已知MN∥BC，當∠ACB=90°，則
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．
“點睛”此題考查的知識點是正方形和矩形的判定及角平分線的定義，解題的關鍵是由已知得出EO=FO，然后根據（1）的結論確定（2）（3）的條件．